*讲座题目：Improved Beckner's inequality for axially symmetric functions on $\mathbb{S}^4$

*主讲人：桂长峰 教授 (德克萨斯大学圣安东尼奥分校)

*主持人：叶东 教授            

*时间：2020年11月13日8：30-9：30

*地点：腾讯会议 ID：197 139 648 

*讲座内容简介：

We show that axially symmetric solutions on $\mathbb{S}^4$ to a constant $Q$-curvature type equation (it may also be called fourth order mean field equation) must be constant, provided that the parameter $\alpha$ in front of the Paneitz operator belongs to $[\frac{473 + \sqrt{209329}}{1800}\approx0.517, 1)$. This is in contrast to the case $\alpha=1$, where a family of non constant solutions exist, known as the standard bubbles. The phenomenon resembles the Gaussian curvature equation on $ \mathbb{S}^2$ in connection to the Moser-Trudinger-Onofri inequality. As a consequence, we prove an improved Beckner's inequality on $\mathbb{S}^4$ for axially symmetric functions with their centers of mass at the origin. Furthermore, we show uniqueness of axially symmetric solutions when $\alpha=\frac15$ by exploiting Pohozaev-type identities, and prove existence of a non-constant axially symmetric solution for $\alpha \in (\frac15, \frac12)$ via a bifurcation method.

This is a joint work with Yeyao Hu and Weihong Xie from the Central South University.

*主讲人简介：

　　桂长峰教授， 德克萨斯大学圣安东尼奥分校。于1984年本科毕业北京大学，1987年在北京大学获得硕士学位，1991年在美国明尼苏达大学获博士学位。曾任纽约大学库郎研究所讲师，加拿大哥伦比亚大学助教、副教授，美国康尼迪格大学副教授、教授、德克萨斯大学圣安东尼奥分校教授。他主要从事偏微分方程理论研究，特别是对Allen-Cahn方程的研究上取得了一系列在国际上有影响的工作，在国际一流数学学术期刊发表论文70余篇，其中包括 Annals of Mathematics、Inventiones Mathematicae 等顶级期刊。同时他在图像处理方面也有很好的工作， 他与合作者撰写的论文Distance Regularized Level Set Evolution and Its Application to Image Segmentation 获得了2015年IEEE SIGNAL PROCESSING SOCIETY颁发的最佳论文奖。